Теория относительности завораживает своими парадоксами. Все мы знаем про близнецов, про возможности засунуть длинный самолёт в короткий ящик. Сегодня каждый выпускник школы знает ответы на эти классические загадки, а уж студенты-физики и подавно считают, что тайн в специальной теории относительности для них не осталось.

Всё бы хорошо, если бы не удручающе обстоятельство — невозможность сверхсветовых скоростей. Неужели никак нельзя быстрее?! — думала я в детстве. А может быть можно?! Поэтому приглашаю вас на сеанс, уж и не знаю, чёрной или белой магии имени Альберта Эйнштейна с разоблачением в конце. Впрочем для тех, кому покажется мало, я приготовила ещё и задачку.

UPD: Сутки спустя публикую решение. Много текста формул, графиков в конце.

К Альфе Центавра

Приглашаю вас занять места в нашем межзвёздном корабле, который направляется в сторону Альфы Центавра. От конечной точки маршрута нас отдаляют 4 световых года. Внимание, запускаем двигатели. Поехали! Для удобства пассажиров наш капитан установил такую тягу, чтобы мы ускорялись с величиной a=g и ощущали привычную нам на Земле силу тяжести.

Вот мы уже прилично разогнались, пускай до половины скорости света c/2c/2. Зададим казалось несложный вопрос: с какой же скоростью мы будем приближаться к Альфа Центавра в нашей собственной (корабельной) системе отсчёта. Казалось бы всё просто, если мы летим со скоростью c/2 в неподвижной системе отсчёта Земли и Альфы Центавра, то и с нашей точки зрения мы приближаемся к цели со скоростью c/2c/2.

Тот, кто уже почувствовал подвох, совершенно прав. Ответ c/2 неверен! Тут надо сделать уточнение, под скоростью приближения к Альфа Центавра я называю изменение оставшегося расстояния до неё, делённое на промежуток времени, за который такое изменение произошло. Всё, разумеется, измеряется в нашей системе отсчёта, связанной с космическим кораблём.

Тут надо вспомнить, о лоренцевском сокращении длины. Ведь разогнавшись до половины скорости света мы обнаружим, что масштаб вдоль направления нашего движения сжался. Напомню формулу:

И теперь, если на скорости в половину скорости света мы измерим расстояние от Земли до Альфы Центавра, мы получил не 4 св. года, а всего лишь 3,46 св.года.

Получается, что только благодаря тому факту, что мы разогнались до c/2c/2 мы уже уменьшили расстояние до конечной точки путешествия почти 0,54 св.года. А если мы будем не просто двигаться с большой скоростью, но ещё и ускоряться, то у масштабного фактора появится производная по времени, которая по сути тоже есть скорость приближения и плюсуется к V.

Таким образом помимо к нашей обычной, я бы сказала классической, скорости VV добавляется ещё один член — динамическое сокращение длины оставшегося пути, которое возникает тогда и только тогда, когда есть ненулевое ускорение. Ну что же, возьмём карандаш и посчитаем.

**А тех, кому лень следить за вычислениями встречаю на другом берегу спойлера ** L — текущее расстояние до звезды по линейке капитана корабля, tt — время на часах в кают-компании, V — скорость.

Уже здесь мы видим, что первая частная производная — это скорость, просто скорость VV со знаком минус, коль скоро мы приближаемся к Альфе Центавра. А вот второе слагаемое — тот самый подвох, о котором, подозреваю, не все задумывались.

Чтобы найти производную скорости по времени во втором слагаемом, надо быть аккуратным, т.к. мы находимся в подвижной системе отсчёта. Проще всего на пальцах её вычислить из формулы сложения релятивистских скоростей. Пусть в момент времени 0 мы движемся со скоростью VV, а через какой-то промежуток времени прирастили нашу скорость на v. Результирующая скорость по формуле теории относительности будет

Теперь соберём вместе (2) и (3), причём производную от (3) надо взять при v=0v=0, т.к. мы рассматриваем малые приращения.

Полюбуемся на конечную формулу

Она удивительна! Если первый член — скорость — ограничен скоростью света, то второй член не ограничен ничем! Возьмите L побольше и… второе слагаемое с лёгкостью может превысить cc.

— Что-что! — не поверят некоторые.

— Да-да, именно так, — отвечу я. — Оно может быть больше скорости света, больше двух скоростей света, больше 10 скоростей света. Перефразируя Архимеда, могу сказать: «дайте мне подходящую L, и я обеспечу вам сколь угодно большую скорость.»

Что ж а давайте подставим числа, с числами всегда интереснее. Как мы помним, капитан установил ускорение gg , а скорость уже достигла V=c/2. Тогда обнаружим, что при L=0.71L = 0.71 светового года, наша скорость приближения сравняется со скоростью света. Если же мы подставим L=4 световых года, то

Прописью: «три целых, три десятых скорости света».

Продолжаем удивляться

Давайте посмотрим ещё более внимательно на формулу (5). Ведь не обязательно садиться в релятивистский космический корабль. И скорость, и ускорение могут быть совсем маленькими. Всё дело в волшебной LL. Вы только вдумайтесь!

Вот я села в машину и нажала на газ. У меня есть скорость и ускорение. И в этот самый момент я могу гарантировать, что где-то примерно сотне-другой миллионов световых лет впереди меня есть объекты, приближающиеся сейчас ко мне быстрее света. Для простоты я ещё не брала в расчёт скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца, и Солнца вокруг центра Галактики. С их учётом объекты со сверхсветовой скоростью приближения окажутся уже совсем поблизости — не на космологических масштабах, а где-то на периферии нашей Галактики.

Получается, что невольно даже при минимальных ускорениях, например встав со стула, мы участвуем в сверхсветовом движении.

Удивляемся ещё

Посмотри на формулу (5) совсем-совсем пристально. Давайте узнаем не скорость приближения к Альфе Центавра, а наоборот скорость удаления от Земли. При достаточно большом L, например, на полпути к цели, мы можем обнаружить, что к нам приближается и Земля, и Альфа Центавра. Оправившись от удивления, конечно можно догадаться, что виной всему сокращение длины, которое работает не только вперёд, но и назад. Пространство за кормой космического корабля сжимается быстрее, чем мы улетаем от точки старта.

Несложно понять и другой удивительный эффект. Ведь стоит изменить направление ускорения, как второе слагаемое в (5) тут же поменяет знак. Т.е. скорость приближения может запросто стать нулевой, а то и отрицательной. Хотя обычная скоростью VV у нас по прежнему будет направлена к Альфе Центавра.

Разоблачение

Надеюсь, я вас достаточно сбила с толку. Как же так, нас учили, что скорость света максимальна! Нельзя приближаться к чему-либо быстрее скорости света! Но здесь стоит обратить внимание на присказку к любому релятивистскому закону. Она есть в любом учебнике, но кажется, что только загромождает формулировку, хотя именно в ней вся «соль». Эта присказка гласит, что постулаты специальной теории относительности работают «в инерциальной системе отсчёта».

В неинерциальной системе отсчёта Эйнштейн нам ничего не гарантирует. Такие дела!

Тоже самое, чуть более подробно и чуть более сложно В формуле (5) содержится расстояние L. Когда оно равно нулю, т.е. когда мы пытаемся определить скорость локально относительно близких объектов, останется только первое слагаемое VV, которое, разумеется, не превышает световую скорость. Никаких проблем. И лишь на больших расстояниях, т.е. не локально, мы можем получить сверхсветовые скорости.

Надо сказать, что вообще говоря, относительная скорость удалённых друг от друга объектов — понятие плохо определённое. Наше плоское пространство-время в ускоренной системе отсчёта выглядит искривлённым. Это знаменитый «лифт Эйнштейна» эквивалентный гравитационному полю. А сравнивать две векторные величины в искривлённом пространстве корректно, только когда они находятся в одной точке (в одном касательном пространстве из соответствующего векторного расслоения).

Кстати о нашем парадоксе сверхсветовой скорости можно рассуждать и по-другому, я бы сказала интегрально. Ведь релятивистское путешествия к Альфе Центавра займёт по собственным часам космонавта гораздо меньше 4 лет, поэтому поделив изначальное расстояние на затраченное собственное время, мы получим эффективную скорость больше скорости света. По сути это тот же парадокс близнецов. Кому удобно, может именно так и понимать сверхсветовое перемещение.

Вот и весь фокус. Ваша Капитанша Очевидность. А напоследок я придумала вам домашнее задание или наброс для обсуждения в комментариях.

Задачка

Земляне и альфацентавры решили обменяться делегациями. С Земли стартовал космический корабль со скорость c/2. Одновременно с ним с Альфы Центавра навстречу отправилась летающая тарелка инопланетян с той же скоростью.

Каково расстояние между кораблями в системе отсчёта корабля землян в момент старта, когда они находились у Земли и Альфы Центавра соответственно? Напишите ответ в комментариях.

UPD: Решение

Итак решение задачи. Сначала рассмотрим её качественно.

Договоримся, что часы на Альфе, Земле, ракете и тарелке синхронизованы (это было сделано заранее), и старт по всем четырём часам состоялся в 12:00.

Рассмотрим пространство время графически в покоящихся координатах (t,x)(t, x). Земля находится в нуле, Альфа на расстоянии L0 по оси xx. Мировая линия Альфы Центавра, очевидно, просто идёт вертикально вверх. Мировая линия тарелки идёт с наклоном влево, т.к. она вылетела из точки АА в направлении Земли.

Теперь на этом графике пририсуем оси координат системы отсчёта ракеты, стартовавшей с Земли. Как известно, такое преобразование системы координат (СК) называется бустом. При этом оси наклоняются симметрично относительно диагональной линии, которая показывает световой луч.

Я думаю, в этот момент вам уже всё стало понятно. Смотрите, ось x′x' пересекает мировые линии Альфы и летающей тарелки в разных точках. Что же произошло?

Удивительная вещь. Перед стартом с точки зрения ракеты и тарелка и Альфа находились в одной точке, а после набора скорости выясняется, что в движущеёся СК старт ракеты и тарелки не был одновременен. Тарелка, вдруг оказывается, стартовала раньше и успела немного приблизиться к нас. Поэтому сейчас в 12:00:01 по часам ракеты до тарелки уже ближе, чем до Альфы.

А если ракета разгонится ещё, она «перепрыгнет» в следующую СК, где тарелка ещё ближе. Причём такое приближение тарелки происходит только за счёт ускорения и динамического сжатия продольного масштаба (о чём собственно весь мой пост), а не продвижения ракеты в пространстве, т.к. ракета ещё по сути ничего и не успела пролететь. Это приближение тарелки, как раз и есть второй член в формуле (5).

Ну и кроме всего прочего надо учесть обычное лоренцевское сокращение расстояния. Сразу сообщу ответ, что при скоростях ракеты и тарелки по c/2 каждая расстояние

• между ракетой и Альфой: 3,46 св. года (обычное лоренцевское сокращение)
• между ракетой и тарелкой: 2,76 св. года

Кому интересно, давайте поколдуем с формулами в четырёхмерном пространстве Такого рода задачи удобно решать с помощью четырёхмерных векторов. Бояться их не надо, всё делается при помощи самых обычных действий линейной алгебры. Тем более мы движемся только вдоль одной оси, поэтому от четырёх координат остаётся только две: tt и x.

Далее договоримся о простых обозначениях. Скорость света считаем равно единице. Мы, физики, всегда так делаем. :) Ещё обычно единицей считаем постоянную Планка и гравитационную постоянную. Сути это не меняет, зато чертовски облегчает писанину.

Итак повсеместно присутствующий «релятивистский корень» обозначим гамма-фактором для компактности записей, где VV — скорость земной ракеты:

Теперь запишем в компонентах вектор OA→ :

Верхняя компонента — время, нижняя — пространственная координата. Корабли стартуют одновременно в неподвижной системе, поэтому верхняя составляющая вектора равна нулю.

Теперь найдём координаты точки ААА в подвижной системе координат (t′,x′), т.е. (OA→)′(\overrightarrow{OA})'. Для этого используем преобразование к движущейся системе отсчёта. Оно называется бустом и делается очень просто. Любой вектор надо умножить на матрицу буста

Умножаем:

Как мы видим, временная компоненты этого вектора отрицательна. Это и значит, что точка АА с точки зрения движущеёся ракеты находит под осью x′x', т.е. в прошлом.

Найдём вектор AT→ в неподвижной системе. Временная компонента — некоторый неизвестный пока промежуток времени Δt0\Delta t_0, пространственная — расстояние, на которое приближается тарелка за время Δt0, двигаясь со скоростью vv:

Теперь тот же самый вектор в системе (t′,x′)

Найдём обычную векторную сумму

Причём по определению точка TT находится на оси x′, поэтому временная компонента

(OT→)′(\overrightarrow{OT})' должна быть равна нулю, а пространственная компоненты — то самое искомое расстояние L от ракеты до тарелки. Отсюда получаем систему двух простых уравнений — приравниваем временные компоненты отдельно, пространственные отдельно.

Из первого уравнения определяем неизвестный параметр Δt0\Delta t_0, подставляем его во второе уравнение и получаем L. Позвольте опустить простые вычисления и сразу записать

Подставив V=1/2V=1/2, v=1/2, получаем