Двое математиков из исследовательского центра «Информатика и управление» РАН разработали новый численный метод решения уравнений Навье-Стокса. Этот метод позволяет получать корректные картины нелинейных процессов, происходящих в газе или жидкости (например, вихрей Ренкина), и поможет снизить шум от обтекания воздухом крыла самолета. Статья опубликована в Mathematics and Computers in Simulation, кратко об этом сообщает поступивший в редакцию пресс-релиз РНФ.

Для описания движения вязкой несжимаемой жидкости или газа применяются уравнения Навье-Стокса. Это довольно сложная система из шести дифференциальных уравнений: по три уравнения приходится на проекции уравнения непрерывности и три на проекции уравнения движения сплошной среды. Сложность этой системы заключается в том, что она нелинейная и сильно зависит от начальных и граничных условий.

A.Tolstykh, M. Lipavskii / Mathematics and Computers in Simulation

Аналитически эти уравнения можно разрешить только в некоторых частных случаях. Проблема существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса является одной из семи задач тысячелетия, за решение которых Математический институт Клэя назначил приз в один миллион долларов. Интересно, что в 2014 году казахский математик Мухтарбай Отелбаев сообщал о решении этой задачи, однако впоследствии в его работе были найдены серьезные ошибки. После этого лауреат Филдсовской премии Теренс Тао опубликовал препринт, в котором рассмотрел все доступные на тот момент математикам методы решения задачи и показал, что с их помощью решить задачу тысячелетия невозможно.

Однако дифференциальные уравнения не обязательно решать аналитически. В некоторых случаях численные методы тоже позволяют получать качественные предсказания. При таком подходе система дифференциальных уравнений представляется в виде системы алгебраических уравнений, которые решать гораздо проще. Однако при этом обязательно возникают погрешности, из-за которых результаты моделирования расходятся с аналитическими решениями. Например, в самом простом случае производную по времени ẋ можно заменить на отношение конечных приращений [x(t + Δt) − x(t)]/Δt, а можно поступить более хитро и взять величину [x(t + Δt) − x(t − Δt)]/2Δt. В первом случае погрешность будет пропорциональна шагу по времени Δt, во втором — Δt² (это можно понять, если разложить функцию x(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t). Степень этой пропорциональности называется порядком оператора. Чем больше степень, тем лучше алгебраический оператор приближает дифференциальный. К сожалению, в случае сильно нелинейных систем, таких как уравнения Навье-Стокса, погрешности быстро растут, и приходится использовать операторы больших порядков, что усложняет вычисления и снижает их точность.

В этой работе математики Андрей Толстых и Михаил Липавский предложили использовать для моделирования уравнений Навье-Стокса мультиоператорный подход, который позволяет избежать таких проблем. Грубо говоря, заключается этот подход в том, что вместо операторов высоких порядков используются комбинации операторов более низких порядков, но с некоторыми параметрами, которые подстраиваются под задачу. Таким образом ученым удалось снизить количество вычислений и разглядеть более мелкие подробности моделируемых процессов.

Примеры сеток, на которых ученые моделировали процессы. A.Tolstykh, M. Lipavskii / Mathematics and Computers in Simulation

Разработанный подход математики применили к моделированию вихря Ренкина в сжимаемом газе (Rankin vortex), а затем сравнили результаты с предсказаниями линейной теории. Для описания процессов переноса вещества они использовали мультиоператоры десятого порядка, а для описания трения (диссипации энергии) — девятого порядка. Вычисления ученые выполняли на решетках различных размеров (от 49×32 до 883×883) в декартовой и полярной системах координат. Оказалось, что в процессе эволюции вихря можно выделить две стадии, в которых возникающие нестабильности эволюционируют со временем (во второй фазе дополнительно добавляются пульсации потока). Чем больше узлов входило в решетку, описывающую газ, тем точнее получалось решить уравнения и тем больше мод возбуждений, предсказываемых линейной теорией, можно было увидеть.

Также ученые выполнили подобные вычисления со схемой четвертого порядка и показали, что при ее использовании тоже можно разглядеть некоторые моды, предсказанные линейной теорией, но со временем схема все больше отходит от реальности из-за того, что она не чувствует высокочастотные моды. Тем не менее, она все еще хорошо позволяет увидеть мелкие особенности процесса при небольших временах симуляции.

Поле давления около вихря в момент t = 700. A.Tolstykh, M. Lipavskii / Mathematics and Computers in Simulation

Поле давления около вихря в момент t = 1000. A.Tolstykh, M. Lipavskii / Mathematics and Computers in Simulation

Поле давления около вихря в момент t = 1400. A.Tolstykh, M. Lipavskii / Mathematics and Computers in Simulation

Поле давления около вихря в момент t = 2000. A.Tolstykh, M. Lipavskii / Mathematics and Computers in Simulation

Математики давно пытаются численно решать уравнения Навье-Стокса. Например, попытки смоделировать эти уравнения выполнялись учеными из Центрального аэрогидродинамического института или исследователями из Кембриджа. Тем не менее, их работы не позволяли получить детальную картину эволюции вихря Ренкина. В этой статье ученые впервые получили корректные картины происходящих процессов. Их работа позволит более точно моделировать турбулентные течения — например, она поможет снизить уровень шума, возникающего при обтекании крыла самолета воздухом.

В этом году российские математики получили премию института Клэя за их работы в спектральной геометрии.

Автор: Дмитрий Трунин