Математики получили более точную (по сравнению с существующими) схему численного решения уравнений Навье — Стокса для плоского течения несжимаемой жидкости. Работа проведена сотрудниками РУДН в соавторстве с российскими и европейскими коллегами. Статья с результатами опубликована в журнале Applied Mathematics and Computation.

Уравнения Навье — Стокса представляют собой систему дифференциальных уравнений, которая позволяет описывать движение вязкой ньютоновской жидкости. Во многих случаях можно пренебречь зависимостью плотности жидкости от координат и времени и считать плотность константой, то есть считать жидкость несжимаемой. С некоторой долей приближения жидкостью Навье — Стокса можно назвать и воду.

Построенная схема позволяет эффективно численными методами решать уравнение для потока несжимаемой жидкости. В работе приводятся расчеты для двумерного движения жидкости (по осям X и Y плюс переменная времени). Это значительно упрощает анализ полученной разностной схемы и работу, так для этого случая известно точное нестационарное решение, и его можно сравнить с результатами, полученными приближенными методами. Путем вычислительных экспериментов и сравнением с точными решениями ученые проверили не только качественно, но и количественно полученную схему численного решения для ламинарного течения жидкости (происходящего без перемешивания ее слоев и пульсаций), не затрагивая турбулентные, в которых образуются вихри и для которых невозможно получить точные решения.

Чтобы решить уравнение численными методами, надо перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим разностным (дискретным) уравнениям.

«Наша задача — построить хорошую схему, которая бы с высокой точностью давала численными методами решение нужной задачи и при этом удовлетворяла ряду специальных свойств, которые накладываются на численные методы», — рассказал математик.

Сопоставив свои данные (верхний график) с данными коллег (нижний график), ученые заключили, что их схема имеет примерно на 2 порядка (100 раз) меньшую погрешность и значительно более медленный рост погрешности по времени. Владимир Гердт

«Когда мы задаем начальное условие, удовлетворяющее точечному решению, мы смотрим, как наше численное решение ведет себя во времени, насколько оно будет отклоняться от точного решения. Любой численный метод за счет ошибок и погрешностей всегда отклоняется от точного решения. У других известных и исследованных в работе схем ошибка довольно быстро возрастает во времени, а у нас ошибка очень мала и возрастает очень медленно, это почти константа, — рассказал ученый. — Мы сравнили со стандартными численными методами других авторов и увидели, что наша схема лучше. В этом главный результат работы».