Французский физик Эрик Дежьюли (Eric DeGiuli) разработал статистическую теорию поля, которая описывает поведение аморфных твердых тел с произвольной внутренней структурой в двух и трех измерениях. Предсказания этой теории хорошо согласуются с результатами экспериментов и численных расчетов, а также позволяют объяснить упругие свойства аморфных тел, которые отсутствуют на малых масштабах, но проявляются на макроскопическом уровне. Статья опубликована в Physical Review Letters, кратко о ней сообщает Physics, препринт работы выложен на сайте arXiv.org. Параллельно с этой работой автор выпустил в Physical Review E более подробную статью (препринт), в которой разбирает детали проведенных вычислений.

Большая часть окружающих нас твердых материалов — цемент, стекло и пластик — не имеют внутренней кристаллической структуры, то есть их частицы не упорядочены, а механические свойства не зависят от направления. Такие материалы называют аморфными. Кроме того, к аморфным телам относят коллоидные растворы (йогурт или шоколадный мусс) и сыпучие материалы, состоящие из большого числа макроскопических частиц (песок), — если приложить к ним нагрузку, они также начинают вести себя, как твердое тело. Несмотря на то, что внутренняя структура различных типов аморфных твердых тел существенно отличается, их механические и термодинамические свойства имеют много общего. Чтобы объяснить эти совпадения, ученые пытаются выделить самые важные параметры, общие для таких тел, и построить теорию, которая позволит предсказывать их свойства.

Поведение твердого тела при изменении температуры определяется его внутренними состояниями (inherent states) и локальной структурой. Например, в кристаллах атомы строго упорядочены (находятся в узлах кристаллической решетки) и находятся в термодинамическом равновесии, а их колебания удобно описывать с помощью фононов. К сожалению, для аморфных твердых тел эти приближения не работают, и в настоящее время не существует общепринятой теории, которая описывает их внутренние состояния. Основное препятствие, которое мешает построить такую теорию, — тот факт, что внутренние напряжения в аморфных телах вызываются не потенциальными силами и не исчезают даже при снятии внешней нагрузки. Например, частицы песка продолжают «цепляться» друг за друга и терять энергию из-за трения даже тогда, когда его ничто не сдавливает. С атомами кристаллической решетки ничего подобного не происходит. В то же время, по своим макроскопическим свойствам аморфные твердые тела очень похожи на кристаллы — например, их теплоемкость и теплопроводность ведут себя практически одинаково при изменении температуры. Это позволяет предположить, что простое объяснение возможно все-таки существует.

E. DeGiuli / Phys. Rev. Lett.

Результаты прямых экспериментов и численного моделирования аморфных тел подтверждают, что такое объяснение должно существовать. Например, моделирование сыпучих материалов и переохлажденных жидкостей показало, что корреляционные функции в них подчиняются степенному закону: C ~ 1/r**d, где r — расстояние между точками функции, а d — размерность пространства. Корреляционная функция — это функция, которая показывает, насколько сильно совпадают параметры среды, измеренные в различных точках; например, в однородной и изотропной среде корреляционная функция постоянна. Аналогичная зависимость также была получена в экспериментах с сыпучими материалами и коллоидными растворами.

Чтобы объяснить эту зависимость, в 2009 году Силке Хенкес (Silke Henkes) и Бюльбюль Чакраборти (Bulbul Chakraborty) адаптировали для сыпучих материалов подход неравновесной статистической механики, разработанный в конце 1980-х годов британским физиком Сэмом Эдвардсом (Sam Edwards). Связывая макроскопическое поведение такого материала с его внутренними напряжениями, ученые рассчитали корреляционные функции и убедились, что их качественная зависимость совпадает с экспериментом. Также исследователи разработали двумерную теорию поля, которая исчерпывающе описывает поведение двумерных сыпучих материалов.

Слева — микроскопическая структура аморфного тела (стекла). Справа — отклик стекла на внесенный в него диполь в приближении непрерывной среды (теории поля). E. DeGiuli / Phys. Rev. Lett.

В новой статье французский физик Эрик Дежьюли (Eric DeGiuli) обобщил результаты Хенкеса и Чакраборти на случай произвольных аморфных твердых тел (а не только сыпучих), вложенных как в двумерное, так и в трехмерное пространство. При разработке теории ученый использовал следующие предположения. Во-первых, следуя работе 2009 года, Дежьюли работал в непрерывном пределе, то есть считал, что характерные расстояния рассматриваемых подсистем много больше размеров составляющих их частиц. Это позволяло напрямую работать с многообразием метастабильных состояний и изучать последствия ограничений, которые на него накладываются, а также ухватить общие закономерности в аморфных материалах с произвольной внутренней структурой и разработать единый подход для их описания.

Во-вторых, исследователь заменил приближение мультиканонического ансамбля (flat ensemble) на условие малости волнового числа рассматриваемых колебаний поля по сравнению с обратным диаметром частиц материала: kD ≪ 1. Это требование позволяет использовать стандартные методы статистической теории поля, чтобы выделять взаимодействия, которые дают самый большой вклад в корреляционные функции. В-третьих, ученый рассматривал только локальные взаимодействия между внутренними напряжениями, и не накладывал строгих ограничений на силы, такие как требование положительной определенности. В-четвертых, Дежьюли рассматривал предел нулевой температуры, то есть пренебрегал термодинамическими колебаниями. Наконец, физик считал, что материал изотропен и находится в локальном механическом равновесии — суммарная сила и момент, действующие на любой маленький объем вещества, равны нулю.

В результате ученый получил, что корреляционная функция в аморфных материалах ведет себя в точности как C ~ 1/r**d (физик рассмотрел случаи d = 2 и d = 3). Это предсказание хорошо согласуется с данными экспериментов и численного моделирования. Кроме того, наличие дальних корреляций означает, что материал обладает упругими свойствами, аналогичными свойствам твердого тела — другими словами, после снятия внешнего напряжения он стремится вернуть свою исходную форму. Важно отметить, что рассуждения Дежьюли не требуют, чтобы эти свойства присутствовали на микроскопическом уровне, как в кристаллических телах. Например, отдельные песчинки практически не притягивают друг друга, однако твердое аморфное тело, состоящее из них, все равно будет упругим.

Автор статьи отмечает, что анализ был проведен в предположении очень низкой температуры, которое редко выполнено на практике. При конечной температуре продольная часть корреляционных функций должна получить поправки, растущие при нагревании тела; тем не менее, они практически не влияют на поперечные части функция, дающие основной вклад в рассмотренные эффекты. Также физик надеется, что его работа поможет лучше предсказывать свойства аморфных тел — например, рассчитать предел прочности цемента в переменных погодных условиях или при больших растяжениях.

В прошлом году материаловеды из США и Франции показали, что механические параметры, описывающие пластическую деформацию аморфных твердых тел, универсальны, то есть подчиняются одинаковым закономерностям вне зависимости от внутренней структуры материала. Для этого ученые рассматривали моменты, когда структура материалов только начинает перестраиваться, и изучали их с помощью численного моделирования и прямых экспериментов.

Кроме того, аморфные твердые тела имеют много общего с сыпучими жидкостями и газами, которые состоят из сравнительно крупных частиц, неупруго взаимодействующих друг с другом. В последнее время физики активно изучают такие системы на практике и в теории. Например, в декабре 2017 исследователи из Испании и Мексики показали, что «жидкость», состоящая из большого числа игральных кубиков, упорядочивается, если периодически вращать ее в противоположные стороны с достаточно большим ускорением. В феврале этого года ученые из Германии и США обнаружили похожие эффекты в системе стеклянных шариков. А в мае немецкие исследователи впервые увидели на практике охлаждение сыпучего газа, состоящего из тонких медных палочек и помещенного в невесомость.

Автор: Дмитрий Трунин