Физики из США и Канады теоретически описали динамический аналог обычных (статических) групп симметрии для нескольких точек, например, для кристаллической решетки. Ученые ввели термин «хореографическая решетка» для описания таких систем, а в качестве критерия симметричности предложили параметр «хореографии». Исследование опубликовано в Physical Review Letters.

Идея исследования пришла одному из авторов, когда тот занимался проблемой гравитационных волн, а именно — проектом космической обсерватории, анализирующей движение несколько спутников, вращающихся вокруг солнца. Ученый предположил, что в данной задаче существует определенная симметрия, выходящая за рамки традиционного статического случая. 

Авторы начали с простого примера: как можно максимально симметрично расположить 4 точки в пространстве? Напомним, что критерием симметричности будет количество операций (например, вращений и отражений), которые переводят фигуру саму в себя. Ответ на этот вопрос известен очень давно: точки должны лежать в вершинах правильного тетраэдра, при этом число операций симметрии (или, как говорят математики, порядок группы симметрий) будет 24.

Двумерные системы движущихся точек с максимальным показателем «хореографии». Стрелками показаны направления движения. Изображение: L. Boyle et al., Phys. Rev. Lett.

Далее ученые задались вопросом, что изменится, если эти же 4 точки начнут вращаться вокруг общего центра. Какой аналог симметрии можно предложить в этом случае? Физики назвали такую систему «хореографической решеткой» и получили выражения для законов движения четырех точек, при которых система максимально симметрична.

Оказалось, что каждая точка должна двигаться по окружности, параллельной грани тетраэдра. При этом фазы всех точек должны отличаться на строго определенное значение. В этом случае шесть раз за период точки оказываются в одной плоскости в вершинах квадрата.

Оси вращения при этом оказываются диагоналями куба. Оказывается, движения, переводящие куб в себя и являются симметриями новой динамической решетки. В частности, они переводят орбиты в себя. Добавляя дополнительно сдвиги и обращение времени, можно добиться, что в себя перейдут сами точки. Таким образом, оказывается, что порядок новой «динамической» группы симмметрий уже 48.

Помимо примера с тетраэдром авторы показали, как в общем случае получить максимально симметричную систему для n движущихся точек. Критерий — общее число симметрий, деленное на n — назвали «хореографией».

Ученые отмечают, что на момент написания статьи они не могли привести пример какой-либо природной или синтетической системы, в которой могли бы возникать высокосимметричные хореографические решетки. Однако, физики призвали экспериментаторов заняться поиском таких систем и предложили критерии, по которым хореографические решетки можно опознать в традиционных рентгеновских измерениях. В тексте статьи ученые отметили, что хореографические решетки, вероятно, стоит искать в кристаллах, молекулах или живых системах, а не в космосе.

Автор: Тарас Молотилин