Математики нашли невыпуклый многоугольник, которым можно замостить плоскость только апериодически. Чтобы доказать принципиальную апериодичность паркета из таких элементов, ученые предложили свой собственный метод, в котором обосновывают геометрическую несоизмеримость иерархической структуры образующейся мозаики. По словам ученых, на основе найденного 13-угольника можно построить целый класс многоугольников с подобными свойствами.

Препринт с результатами исследования опубликован на arXiv.org.

Замостить плоскость многоугольниками можно несколькими способами. Во-первых, можно создать периодический паркет, в котором элементы складываются в мозаику с трансляционной симметрией. То есть если сдвинуть ее в нужном направлении на нужное расстояние, то она наложится на себя. С помощью комбинаторных рассуждений можно доказать, что у выпуклых многоугольников в периодическом паркете может быть только три, четыре, пять или шесть сторон. При этом замостить плоскость можно любым трех- и четырехугольником, все подходящие пятиугольники делятся на 15 классов, а шестиугольники — на три. Подробнее паркетах из выпуклых многоугоульников — в нашем материале «Пять углов.

Во-вторых, если выкладывать многоугольники определенным образом, то из некоторых из них можно сложить и непериодические паркеты, например с помощью замощения Фодерберга невыпуклыми девятиугольниками. Все известные примеры таких замощений чувствительны к правилу, по которому плитка укладывается в мозаику, и из этих же элементов можно сложить и периодический паркет. А все принципиально апериодические паркеты, известные на сегодня, можно сложить только если использовать несколько типов элементов (например мозаика Пенроуза, сложенная из двух типов ромбов) или если элементы определенным образом раскрашены. Такого многоугольника, которым можно замостить плоскость апериодически без использования других элементов, на данный момент неизвестно.

Группа математиков под руководством Чейма Гудмана-Страусса из Национального музея математики в Нью-Йорке опубликовала препринт, в котором доказывает, что апериодическим будет паркет из полидельтоидов.